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Brückenkurs:
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Aufgabe1

a)
    1    +   1         =     6      
x+3        x-3              x^2-9

   1     +    1        =          6        
  x+3     x-3                 (x+3)(x-3)

     1(x-3)   + 1(x+3)       =         6                recht Seite auf beiden Seiten
(x+3)(x-3)     (x+3)(x-3)       (x+3)(x-3)        subtrahieren.


     x-3  + x+3 -6             =       0      ;           2x-6             =    0      ; 
      (x+3)(x-3)                                              (x+3)(x-3)

LÖSUNG: x   =  3 ist nicht definiert, weil Nenner wird Null.
Lösung = keine Lösung

b)
2+Wurzel(3x(x-2))  =   x                 Erst mal den Wurzelausdruck auf der rechten 
                                                        alleine stehen lassen, damit wir beide Seiten 
                                                        potenzieren können.

Wurzel(3x(x-2))^2  =  (x - 2)^2 ;      3x(x-2)   =    x^2 - 4x +4   ;    
                                                        3x^2 -6x  =   x^2 - 4x  +4  ;  
                                                         2x^2 - 2x -  4       =    0   ;
                                                         2(x^2 - x -  4)      =     0   ;   geteilt durch 2

jetzt haben wir die pq-Form:       x^2 - x - 4

x1/2 = -p/2 +- Wurzel((-p/2)^2 -q)    ;

x1/2 = 1/2 +- Wurzel(1/2^2 +4)     ;

x1/2 = 1/2 +- Wurzel(9/4)    ;         x1/2 = 1/2 +- 3/2   ;

x1   = 2     ;     x2      =   -2  ; 

Jedoch ist -2 nicht definiert, weil wenn wir die Gleichung anschauen, dann sehen wir, dann würde ja die rechte Seite negativ: das ist aber nicht möglich, weil wir auf der linken Seite ein Wurzel haben und eine positive Zahl.



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Aufgabe 2

Für welche Werte von c hat folgende quadratische Gleichnung genau eine Lösung?

x^2 -(c+2)x+1=0

Lösung:
Wir benutzten die gute alte Mitternachtsformel: nach p,q

x1,x2 = -p/2+- Wurzel((p/2)^2-q;

Wir setzen also ein:  -(-(c+2)/2)+-Wurzel( (c+2/2)^2 - 1);

Wir wollen also eine Lösung x, und suchen, bei welchem c das der Fall ist.

Wenn also die Wurzel Null wird, haben wir genau eine Lösung.

D.h. (c+2/2)^2 - 1  = Null;  ((c^2+4+4c)/4 - 4/4) = 0; (c^2+4+4c -4)/4 = 0;
(c^2+4c)/4 = 0;  Wir müssen also den Nenner Null werden lassen:
c^2+4c=0;  c(c+4) = 0; folglich haben wir 2mal c; c1=0; c2=-4;

Wir machen die Probe: wir nehmen c1 = 0;

es ergibt sich die Gleichung: x1,x2= -(-(c+2)/2+-Wurzel((c^2+2)/2 -1 ) wir setzten
c=0;   x1,x2=1; d.h. Für x =1 und c1=0 hat die Funktion eine Nullstelle.

Wenn also c=0 in die Gleichung einsetzen, sehen wir das die Funktion die y-Achse
bei dem Wert 1 schneidet. Sy(0/1),
Setzen wir also jetzt in die gleiche Gleichen den Wert 1=x ein so müsste y=0 herauskommen.
f(1)=1^2-2x1+1=0 es trifft also zu: Sx(1/0); Ob dieser Punkt noch mehr zu bieten
hat kann man herausfinden, indem man das Differenzial untersucht, also die erste Ableitung.
f(x)=x^2-2x+1; f'(x)=2x-2 folglich x=1 auch Grenzwert ich würde sagen ein Minima.
wegen f''(x)=2;
Und das Gleiche mit s=-4




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Aufgabe 3
Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung

4x^2+4y^2+24x-20y+45=0

(Unter dem folgenden Link kann man sich Aufgaben über Kreisfunktionen anschauen.)

http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CCkQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.mathesite.de%2Fpdf%2Fkrgl.pdf&ei=rdLgVJ2WNsXPaOCXgNAP&usg=AFQjCNG5x4drq7TiGulASGkpHRSWXEG78w&bvm=bv.85970519,d.d2s

Erst mal die Koeffezienten der x und y Quadratpotenz auf eins umformen. Daher sieht man
auch gleich, das man die Gleichung erst mal durch 4 teilen muß.

Die Gleichung umformen so das sich die Form:

(x+a)^2+(x+b)^2 = r^2     ergibt.

a und b sind jeweils die Verschiebung des Kreismittelpunktes vom Ursprung.

Die rechte Seite gibt den Radius im Quadrat an.

Beispiel:

4x^2+4y^2+24x-20y+45=0                 Die Gleichung durch 4 dividieren
x^2+y^2+6x-5y+45/4     =0                 Nach den Regeln der Binomischen
                                                               Formeln umformen. Beachte: Durch das ein-
                                                               bringen der Binomischen Form werden Zahlen
                                                               addiert oder subtrahiert.
(x+3)^2-9+(y-5/2)^2-25/4+45/4=0       hier haben wir jeweils 9 und 25/4 wieder ab-
                                                               ziehen müssen.

(x+3)^2+(y-5/2)^2      =(Wurtzel von) 16/4  = r = 2

Das Ergebnis: Der Kreis ist 3 Einheiten vom Mittelpunkt des Kreises zum Ursprung
nach links verschoben worden und  5/2 Einheiten nach oben.

KreisM:(-3/2,5)     Radius r =  2

Beachte: Wenn die rechte Seite negativ wird so handelt es sich nicht um eine Kreis-
funktion.

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Aufgabe4
Eine Straße hat auf einer Landkarte mit Maßstab 1: 25 000 eine Länge von 3,2 cm. Die Straße weist eine gleichmäßige Steigung von 9% auf. Wie lange ist diese Straße in Wirklichkeit?

Lösung:
Erst mal die Maßstäbe auf Echtmaß umrechnen:  3,2 x 25 000 =  800 m

1. Möglichkeit nach Kosinusfunktion:  Winkel Alpha = 0.45 x 9 = 4,05 Grad ; 100 % Steigung entspricht 45 Grad.

C = Ankat./ cos Alpha = 802 m

2. Möglichkeit

Lösung nach Pythoguras:  Ankathete = 800 m; 

9% Steigung heißt : auf 100 m Länge steigen wir 9 m.

Folglich auf 800 m haben wir  9/100 *800/1 = 72 m

Satz von Pythgoras:  Hypotenuse^2 = Ankathete^2 + Gegenkathete^2

                                   Hypotenuse^2 =    800^2       +    72^2

                                   Hypotenuse     =     803,23 m


Das interessante ist, das es bei beiden Möglichkeiten eine Abweichung von 803,23 m
                                                                                                                        -802,00 m
                                                                                                                             1,23 m
                                                                                                                              ====


besteht. 803,23 wird als Lösung angegeben. Kann die Aufgabe mathematisch nicht auch nach Möglichkeit 1 gelöst werden ?
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Aufgabe 5
Für welche Werte x ist die folgende Ungleichung erfüllt?

Ix+4I       < 1
I2x+1I   

Die Betragsungleichung kann auf der Linken Seite Negativ werden und ist somit trotzdem immer Positiv
Also haben wir zwei Möglichkeiten Minus und Pus, die zu dem richtigen Ergebnis führen.

D. h. in diesem Fall bei welchem x wird die linke Seite 1 oder -1.

1. Fall                          Ix+4I < 1(I2x+1I)
                                    -x        <     -3      Mit Minus 1 multipliziert.
                                     x        >     3       Das Zeichen dreht sich um.



2. Fall                     Ix+4I        <     -1
                              I2x+1I

Rechnung               Ix+4I   < -1(I2x+1I)
                                x+4     <   -2x - 1
                                 3x       <    - 5
                                    x      <           -5/3



D.h. die Betragsgleichung ist für folgende x erfüllt:   x > 3; x < -5/3;
also könnte man sagen in dem Interval u1(3;-5/3) hat die Gleichung keine Lösung.
 
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Link für Mathenachhilfe:

http://www.hs-karlsruhe.de/studierende/studienablauf/studieneingangsphase.html

Mathenachhilfe:
Claudia.tack@hs-karlsruhe.de


Nächste Mathenachhilfe: Di 21.04. 17:20 – 18:50 Uhr (6. Block); Raum B206






















Geometrische Zahlenfolgen:

https://www.youtube.com/watch?v=hqv2Z6n6IvI


Arithmetische Zahlenfolgen:

https://www.youtube.com/watch?v=hqv2Z6n6IvI


Grenzwerte von Folgen:
https://www.youtube.com/watch?v=qhCk8RuqKf0



Folgen und Reihen














 

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Stetigkeit von Funktionen

Zusammenfassung:
Eine reelle Funktion ist stetig, wenn hinreichend kleine Änderungen des Arguments zu beliebig kleinen Änderungen des Funktionswerts führen. Intuitiv bedeutet das, dass der Graph eine zusammenhängende Linie ist. In der Praxis hilft dieses Kriterium zwar oft, aber nicht immer, so dass eine exakte Definition der Stetigkeit nötig ist.

Stichworte:
Stetige Funktionen | Idee der Stetigkeit | stetig / unstetig | kleine Änderungen | erster Stetigkeitsbeweis | Definition der Stetigkeit | Folgenkriterium | Stetigkeit der Betragsfunktion | Kombinationen stetiger Funktionen (Summen, Vielfache, Produkte, Quotienten und Verkettungen) | Potenzfunktionen, Polynomfunktionen und rationale Funktionen | Stetigkeit der Umkehrfunktion | Stetigkeit der Wurzelfunktionen | differenzierbare Funktionen sind stetig | Liste stetiger Funktionen | Graph und Definitionsbereich | zwei schwierigerere Fälle | stetig hebbare Definitionslücken | links- und rechtsstetig (halbstetig) | Eigenschaften stetiger Funktionen | Zwischenwertsatz | Satz von Bolzano (Existenz einer Nullstelle) | Satz vom Minimum und Maximum | weiterführende Themen | komplexe Funktionen | Topologie | offene Menge | Urbild
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Die Entwicklung dieses Kapitels wurde gefördert
von der Stadt Wien im Rahmen des Projekts
Blended Learning für Mathematik in der Studieneingangsphase
 
                                                                                                                                                                                                                                                  
     
Stetige Funktionen
           
     

Die Idee der Stetigkeit


Wenn Sie in diesem Kapitel angekommen sind, haben Sie bereits viel über Funktionen gelernt. Bisweilen ist der Begriff der Stetigkeit schon in frühren Kapiteln aufgetreten und wurde dort eher intuitiv behandelt, und er wird auch in den folgenden Kapiteln an verschiedenen Orten erscheinen. Was bedeutet er genau?

Wir wollen hier die grundlegende Definition der Stetigkeit und einige ihrer Konsequenzen behandeln. Dabei beschränken wir uns auf reelle Funktionen. Unter einer reellen Funktion f verstehen wir eine Funktion (Abbildung), die jedem Element x einer Teilmenge A der Menge R der reellen Zahlen (dem Definitionsbereich von f) eine eindeutig bestimmte reelle Zahl f(x) zuordnet. Um diesen Sachverhalt auszudrücken, schreiben wir f:AR. Die konkrete Zuordnungsvorschrift ist bei den meisten Funktionen, die Sie bisher kennen gelernt haben, durch eine Funktionsgleichung, d.h. durch die Angabe eines Terms geschehen (man spricht dann von einer termdefinierten Funktion), wie beispielsweise für

f:RRf(x)=3x2.
 
(1)

       






Stetigkeit
intuitiv


reelle Funktionen


Funktions-
darstellungen
 
      Der Definitionsbereich ist hier die ganze Menge R. Da aber grundsätzlich keine Einschränkung an die Zuordnungsvorschrift, die eine Funktion definiert, gemacht werden, gibt es zahlreiche andere Funktionen, die nicht auf eine solch einfache Weise festgelegt werden können. Beispiele sind die stückweise (abschnittsweise) termdefinierten Funktionen wie beispielsweise

g:RRg(x)={1fürx0x2fürx>0,
 
(2)

aber selbst diese Funktionen bilden nur eine kleine Unterklasse der Menge aller reellen Funktionen.

       
 
 
      Die meisten der Funktionen, die Sie bisher kennen gelernt haben, lassen sich auf eine sehr nützliche Weise grafisch darstellen: Der Graph einer reellen Funktionen f mit Definitionsbereich A ist die Menge

{(x,f(x)|xA}.  
(3)

Als Menge reeller Zahlenpaare (d.h. als Teilmenge des R2) kann der Graph einer reellen Funktion geometrisch gedeutet werden. Die Graphen der durch (1) und (2) definierten Funktionen sehen, als Teilmengen der Zeichenebene dargestellt, so aus:

Graph der in (1) definierten Funktion f Graph der in (2) definierten Funktion g

Beide Funktionen sind auf der gesamten Menge R definiert, unterscheiden sich aber in einer wichtigen Hinsicht:
  • Die durch (1) definierte Funktiom f besitzt die Eigenschaft, dass ihr Graph eine zusammenhängende Linie ist. Er lässt sich zeichnen, ohne dass der Bleistift abgesetzt werden müsste. Wird langsam entlang der x-Achse nach rechts geschritten, so ändern sich die zugehörigen Funktionswerte ebenfalls langsam. Eine kleine Änderung von x hat eine kleine Änderung von f(x) zur Folge.
     
  • Die durch (2) definierte Funktiom g besitzt diese Eigenschaft nicht. Ihr Graph ist keine zusammenhängende Line. An der Stelle x=0 "springt" er ein Stück hinauf. Dass der Funktionswert an dieser Stelle gleich 1 ist, wird symbolisch durch den kleinen ausgefüllten roten Kreis gekennzeichnet. Wird langsam entlang der x-Achse nach rechts geschritten, so ändern sich die zugehörigen Funktionswerte zunächst gar nicht, aber an der Stelle 0 findet eine abrupte Änderung (ein Sprung) statt. Hier gilt nicht mehr, dass eine kleine Änderung von x eine kleine Änderung von f(x) zur Folge hat.
Wir nennen f in seinem gesamten Definitionsbereich stetig, während wir sagen, dass g an der Stelle 0 nicht stetig (oder unstetig) ist. Das ist die Idee!

Die Formulierungen "zeichnen" und "Bleistift" sind zwar für unsere Vorstellungswelt nützlich, aber reichlich unpräzise! Denn erstens reichen die Graphen beider Funktionen "bis ins Unendliche" – wir können immer nur einen endlichen Ausschnitt "zeichnen". Zweitens besitzt ein Bleistiftstrich eine endliche Dicke (wir müssten daher eigentlich an einen "idealen" Bleistift" denken, mit dem wir Striche ziehen können, die keine Dicke besitzen). Und drittens kommt das Konzept des "Zeichnens ohne absetzen" an seine Grenze, wenn wir eine Funktion wie diese betrachten:

 
h:RRh(x)=0sin(1x)fürx=0fürx0.
 
(4)

Sie ist ebenso wie f und g auf ganz R definiert, und ihr Graph – so gut er überhaupt gezeichnet werden kann – sieht so aus:

Graph der in (4) definierten Funktion h

       

Funktionsgraph
 
      Er zeigt wilde Oszillationen, die immer näher zusammenrücken, je näher man sich der Stelle 0 nähert. Der gelbe Kreis stellt den Funktionswert an der Stelle 0 dar.
Erklären Sie, warum der Graph so aussieht! Wie verhalten sich die Funktionswerte, wenn x der Stelle 0 zustrebt? Berechnen Sie die Nullstellen dieser Funktion! Klicken Sie danach auf den nebenstehenden Button!
Ist diese Funktion stetig? Das Bleistift-Argument beantwortet diese Frage nicht eindeutig. Daher ist eine genauere Charakterisierung nötig, wann wir eine Funktion als stetig bezeichnen wollen.

 
       


 
     
Kleine Änderungen


Also versuchen wir es anders: Lässt sich der Graph einer Funktion (nativ vorgestellt) ohne abzusetzen zeichnen, wie es für die in (1) definierten Funktion f der Fall ist, so bedeutet das, wie bereits erwähnt, dass eine kleine Änderung des Arguments x zu einer kleinen Änderung des Funktionswerts f(x) führt. Das ist noch immer mathematisch zu wenig klar formuliert, aber es ist ein guter Ansatz zum Weiterdenken: Halten wir erst mal eine Stelle x aus dem Definitionsbereich der Funktion f fest, also beispielsweise x=1. Der zugehörige Funktionswert ist f(1)=312=3. Nun betrachten wir eine andere Stelle x. Der Funktionswert an dieser neuen Stelle ist f(x)=3x2. Wird die betrachtete Stelle von 1 zu x geändert, so erfährt der Funktionswert die Änderung f(x)f(1)=3x23. Liegt x sehr nahe bei 1, so ist diese Änderung klein:
  • Beispielsweise beträgt sie für x=1.001, d.h. für x1=0.001, nur 0.006003.
  • Oder für x=0.999, d.h. für x1=0.001, beträgt sie 0.005997.
Der springende Punkt ist nun, dass wir den Betrag der Änderung von f so klein machen können wie wir wollen, indem wir einfach x genügend nahe an 1 heranrücken. Stellen wir uns vor, dass der Betrag der Änderung von f kleiner als ε sein soll, wobei ε eine beliebig kleine (aber positive) reelle Zahl sein darf. Um das zu erreichen, müssen wir x nur nahe genug an 1 heranrücken. Wie nahe? Das ist uns eigentlich egal! Hauptsache, es gibt irgendeinen Abstand – wir bezeichnen ihn mit δ –, so dass für alle x, deren Abstand zu 1 kleiner als δ ist, der Abstand der Funktionswerte kleiner als ε ist.

Dieses "Genügend nahe an 1 Heranrücken" formulieren wir in mathematischer Sprache so: Für jedes (noch so kleine) ε>0 gibt es ein δ>0 so dass für alle x, die sich (betragsmäßig) um weniger als δ von 1 unterscheiden, gilt:

|f(x)3|<ε .

Oder, noch knapper: Für jedes ε>0 gibt es ein δ>0, so dass

|f(x)3|<ε    für alle x, die  |x1|<δ  erfüllen.  
(5)

Damit haben wir endlich eine klare Aussage, die sich überprüfen lässt!

 
       
 
 
     
Ein erster Stetigkeitsbeweis


Überprüfen wir die soeben gemachte Aussage, um sicher zu gehen: Sei also ε>0 beliebig gewählt. Unter Verwendung der Funktionsgleichung (1) wird die Aussage |f(x)3|<ε zu

|3x23|<ε.  
(6)

Wir müssen nun ein δ>0 angeben, so dass immer dann, wenn x um weniger als δ von 1 entfernt liegt, die Aussage (6) gilt. Haben wir ein solches δ gefunden, so ist jede kleinere positive Zahl ebenfalls ein mögliches δ. Er wird sich gleich herausstellen, dass es eine gute Wahl ist, δ<1 zu verlangen. x hat dann nämlich von 1 einen Abstand kleiner als 1, es liegt zwischen 0 und 2. Folglich liegt x+1 dann zwischen 1 und 3, woraus sich ergibt, dass |x+1|<3 ist. Nun setzen wir voraus, dass |x1|<δ ist, machen die kleine Umformung
|3x23|=3|x21|=3|(x1)(x+1)|=3|x1||x+1|
und rechnen

|3x23|=3|x1|<δ|x+1|<3<9δ.

Wir könnten nun 9δ=ε, also δ=9ε setzen, um die gewünschte Aussage (6) zu erreichen, müssen aber bedenken, dass δ auch kleiner als 1 sein soll. Das kann erreicht werden, indem δ gleich dem Minimum von 1 und 9ε definiert wird:
  • Ist ε<9, so ist 9ε<1 und daher δ=9ε, was auf |3x23|<ε führt.
  • Ist ε9, so ist 9ε1 und daher δ=1. Daraus ergibt sich 9δ=9ε und folglich |3x23|<9δε.
In jedem Fall erreichen wir also die gewünschte Aussage |3x23|<ε, womit bewiesen ist, dass es für jedes (und zwar wirklich für jedes) ε>0 ein δ>0 gibt, so dass aus |x1|<δ immer folgt, dass |3x23|<ε gilt!

Was wir soeben bewiesen haben, ist, dass die durch (1) definierte Funktion f an der Stelle 1 stetig ist! Wenn ihnen die Logik der Argumentation nicht ganz klar ist, gehen Sie sie noch einmal im Detail durch! Sie beinhaltet den Schlüssel zur allgemeinen Stetigkeitsdefinition.

 
       
 
 
     
Definition der Stetigkeit


Wir haben nun die Idee der Stetigkeit für ein einfaches Beispiel in eine klare mathematische Aussage gegossen. In diesem Beispiel war der Definitionsbereich gleich der ganzen Menge R. Wollen wir aber beliebige reelle Funktionen betrachten, so bekommen wir es auch mit Definitionsbereichen zu tun, die echte Teilmengen von R sind. Die Idee, dass die Stetigkeit an einer Stelle x betrachtet wird, indem zu einer nahe benachbarten Stelle x übergegangen wird, macht aber nur Sinn, wenn sowohl x als auch die benachbarten Vergleichsstellen x innerhalb des Definitionsbereichs liegen, und wenn es dazwischen keine Lücken gibt. Ist eine Funktion beispielsweise nur in den Intervallen (,1) und (1,) sowie an der Stelle 0 definiert, so macht es wenig Sinn, nach der Stetigkeit an der Stelle 0 zu fragen. Daher verlangen wir, dass die Stelle x, an der eine Funktion stetig oder nicht stetig sein kann, nicht nur im Definitionsbereich A liegt, sondern dass zusätzlich eine der beiden Eigenschaften erfüllt ist:
  • Es gibt ein offenes Intervall (a,b), in dem x liegt, und das ganz in A enthalten ist. x liegt dann im Inneren des Definitionsbereichs. Vergleichsstellen x können beliebig nahe bei x liegen und dabei sowohl kleiner als auch größer als x sein.
     
  • Es gibt kein solches Intervall, aber es gibt ein halb-offenes Intervall (a,x] oder [x,b) (mit x als Randpunkt), das ganz in A enthalten ist. In diesem Fall können Vergleichsstellen x können beliebig nahe bei x liegen, aber nur auf einer Seite: Sie sind – je nachdem, ob (a,x] oder [x,b) ganz in A enthalten ist – stets kleiner oder größer als x.
Wann immer in diesem Kapitel von der Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle die Rede ist, muss eine dieser beiden Bedingungen erfüllt sein. Sie können gemeinsam in der Form "x liegt in einem offenen oder halb-offenen Intervall, das ganz im Definitionsbereich enthalten ist" zusammengefasst werden.

Nun sind wir bereit für die allgemeine Definition der Stetigkeit einer reellen Funktion. Sei f:AR eine reelle Funktion, und sei x eine Stelle, die eine der beiden obigen Bedingungen erfüllt.

Definition: Wir nennen f an der Stelle x stetig, wenn es für jedes ε>0 ein δ>0 gibt, so dass für alle xA, die |xx|<δ erfüllen, |f(x)f(x)|<ε gilt.

Das ist gemeint, wenn etwas salopp gesagt wird, dass die Änderung von f durch eine genügend kleine Änderung von x beliebig klein gemacht werden kann. Die durch diese Definition beschriebene Situation (für den Fall, dass x in einem offenen Intervall (a,b) liegt, das ganz in A enthalten ist) kann anhand der folgenden Skizze verdeutlicht werden:


Der Graph der Funktion ist rot eingezeichnet. Der horizontale graue Streifen legt fest, wie stark f(x) von f(x) abweichen darf. Der vertikale Streifen (mit strichlichen Rändern) gibt an, wie nahe x bei x liegen muss, um zu erreichen, dass der Punkt (x,f(x)) innerhalb des grauen Streifens liegt. Es liegt dann der gesamte Abschnitt des Graphen, der den Stellen x mit |xx|<δ entspricht, innerhalb des grauen Streifens. Das Verhalten der Funktion in größerer Entfernung von der Stelle x ist irrelevant für die Beurteilung der Stetigkeit an der Stelle x.

Auch wenn es Ihnen vielleicht schwer fällt, versuchen Sie diese Logik "für jedes ε gibt es ein δ" zu verstehen!

Ist die Funktion an allen Stellen xA stetig, so nennen wir sie stetig, ohne Angabe einer konkreten Stelle, oder "stetig in A".

Die meisten Funktionen, die Sie bisher kennengelernt haben, sind entweder an allen oder an den meisten Stellen ihres Definitionsbereichs stetig. Für das Beispiel (1) und die Stelle 1 wurde das oben bereits im Detail bewiesen. Die Argumentation kann leicht auf beliebige andere Stellen verallgemeinert werden: Diese Funktion ist an jeder Stelle stetig.

Glücklicherweise stehen auch andere (in der Praxis oft leichter handhabbare) Kriterien zur Verfügung, die die Stetigkeit einer reellen Funktion erweisen.

 
       







Intervalle
 
     
Folgenkriterium


Denken wir noch einmal an die Idee, dass eine Funktion stetig ist, wenn man ihren Graphen ohne abzusetzen zeichnen kann. Sie lässt sich auch auf andere Weise realisieren: Betrachten wir eine Folge xn reeller Zahlen, die gegen eine Stelle x konvergiert, und die Folge f(xn) ihrer Funktionswerte. Ist der Graph von f eine zusammenhängende Linie, so konvergiert die Folge der Funktionswerte gegen f(x). Hier eine Skizze dieser Idee:


Die blauen Punkte stellen die ersten Glieder xn einer Folge dar, die gegen x (= roter Punkt auf der x-Achse) konvergiert. Die zugehörigen Punkte auf dem Graphen sind in grün dargestellt, die Funktionswerte f(xn) können auch auf der y-Achse dargestellt werden (braune Punkte). Sie konvergieren gegen den Funktionswert f(x) (= roter Punkt auf der y-Achse).

Ist der Graph einer Funktion keine zusammenhängende Linie, so ist das nicht automatisch der Fall, wie diese Skizze verdeutlicht:


Hier konvergiert die Folge f(xn) der Funktionswerte nicht gegen f(x), sondern gegen den Wert, die auf der y-Achse mit c bezeichnet ist.

Tatsächlich ist die Eigenschaft, dass der Grenzwert der Funktionswerte gleich dem Funktionswert des Grenzwerts ist, gleichbedeutend mit der oben definierten Stetigkeit! Wir setzen wieder voraus, dass x in einem offenen oder halb-offenen Intervall liegt, das ganz im Definitionsbereich von f enthalten ist.

Satz (Folgenkriterium): f ist genau dann an der Stelle x stetig, wenn für jede Folge xn von Elementen des Definitionsbereichs, die
limnxn=x
erfüllt, auch
limnf(xn)=f(x)
gilt.
       





Folgen
 
     
Beweis: Da er ein bisschen schwieriger ist als die anderen Beweise dieses Kapitels und ausgiebig von der "Epsilontik" Gebrauch macht, haben wir ihn vom Haupttext getrennt. Wenn Sie ihn sehen wollen, klicken Sie auf den nebenstehenden Button. Wenn er Ihnen zu steil ist, überspringen Sie ihn, aber merken Sie sich bitte das Kriterium!
Um die Stetigkeit einer Funktion zu beweisen, kann also anstelle der ursprünglichen Definition auch dieses Kriterium benutzt werden. Beispielsweise zeigt es, dass die Betragsfunktion x|x| an allen reellen Stellen stetig ist. Ihr Graph sieht so aus:

Graph der Betragsfunktion x|x|

Die einzige Stelle, an der ihre Stetigkeit nicht von vornherein klar ist, ist 0. Mit dem Folgenkriterium argumentieren wir: Aus xn0 folgt |xn|0=|0|, womit auch die Stetigkeit an dieser Stelle erwiesen ist.

 
       

des Folgen-
kriteriums


Betragsfunktion
 
     
Kombinationen stetiger Funktionen


Viele der Funktionen, mit denen wir es in der Mathematik zu tun haben, sind aus anderen (einfacheren) Funktionen aufgebaut. Insbesondere können gemäß

(f+g)(x)(rf)(x)(fg)(x)fg(x)==)==f(x)+g(x)rf(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
 
(7)

Summen, Vielfache, Produkte und Quotienten von Funktionen gebildet werden. In diesen Definitionen steht r für eine beliebige reelle Zahl, und die Bildung des Quotienten f/g ist nur möglich, wenn g(x) an allen betrachteten Stellen 0 ist. Für diese Kombinationen gilt der

Satz: Sind die Funktionen f und g an der Stelle x stetig, so ist sind die Funktionen f+g, rf (für jede reelle Zahl r), fg und f/g (wobei g(x)0) ebenfalls an der Stelle x stetig, sofern ihre Definitionsbereiche dies erlauben.
Anmerkung: Der Zusatz "sofern ihre Definitionsbereiche dies erlauben" bedeutet: "sofern ihre Definitionsbereiche ein offenes oder halb-offenes Intervall enthalten, in dem x liegt". Damit werden Funktionen wie xx+x, die ja nur an einer einzigen Stelle definiert ist, von vornherein ausgeschlossen.

Beweise: Die Beweise ergeben sich mit Hilfe des Folgenkriteriums einfach aus der Tatsache, dass Summen, Vielfache, Produkte und Quotienten konvergenter Folgen wieder konvergent sind und gegen die entsprechenden Summen, Vielfache, Produkte und Quotienten der Grenzwerte konvergieren (wobei im letzten Fall der Grenzwert des Nenners 0 sein muss).
       

Rechenregeln
für Folgen

 
 
      Damit kann sehr leicht die Stetigkeit aller rationalen Funktionen (ausgenommen an den Polstellen), die auch die Polynome umfassen, gezeigt werden:
  • Die Potenzfunktionen xxn für alle nN0 sind an allen reellen Stellen stetig. (Die Stetigkeit der konstanten Funktion x1 und der identischen Funktion xx sind evident. Beliebige Potenzfunktionen können aus ihnen durch das Bilden von Produkten gebildet werden).
     
  • Alle Polynomfunktionen sind an allen reellen Stellen stetig. (Sie können aus der identischen Funktion und der konstanten Funktion durch das Bilden von Produkten, Summen und reellen Vielfachen gebildet werden). Unsere obige Argumentation, dass die in (1) definierte Funktion an der Stelle 1 stetig ist, hat dem Einstieg gedient, aber hier haben wir eine weitaus umfassendere Beweisführung vor uns, die diesen Fall mit einschließt.
     
  • Schließlich erhalten wir durch Divisionen die rationalen Funktionen (Quotienten aus Polynomen). Bei einer solchen Funktion gehören die Nullstellen des Nenners nicht zum Definitionsbereich. An allen anderen reellen Stellen ist sie stetig. Das bedeútet, dass jede termdefinierte Funktion, deren Term aus x und beliebigen vorgegebenen reellen Zahlen durch Anwendung der Grundrechnungsarten (Addition, Multiplikation und Division) hervorgeht, in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist. Beispiel: Die Funktion
    x3x2+2(x1)(x2)
    ist an allen Stellen x stetig, die x1 und x2 erfüllen.
       



Potenzen


Polynome



rationale Funktionen
 
      Ein weiterer Satz garantiert, dass Verkettungen stetiger Funktionen, definiert durch

(fg)(x)=f(g(x))  ,
(8)

wieder stetig sind:

Satz: Ist f an der Stelle g(x) stetig und g an der Stelle x, so ist die Funktion fg an der Stelle x stetig, sofern ihr Definitionsbereich dies erlaubt.
Anmerkung: Der Zusatz "sofern ihr Definitionsbereiche dies erlaubt" bedeutet: "sofern ihr Definitionsbereich ein offenes oder halb-offenes Intervall enthält, in dem x liegt". Damit werden Verkettungen wie xx2, die ja nur an einer einzigen Stelle definiert ist, von vornherein ausgeschlossen.

Beweis: Sei ε>0. Die Argumentation verläuft in zwei Schritten:
  • Aufgrund der Stetigkeit von f an der Stelle g(x) gibt es ein δ>0, so dass für alle x mit |xg(x)|<δ gilt: |f(x)f(g(x))|<ε. Dies gilt natürlich insbesondere für alle x, die die Form x=g(x′′) haben. Daher: Für alle x′′ mit |g(x′′)g(x)|<δ gilt |f(g(x′′))f(g(x))|<ε.
  • Aufgund der Stetigkleit von g an der Stelle x gibt es (für jedes δ>0) ein δ>0, so dass für alle x′′ mit |x′′x|<δ gilt: |g(x′′)g(x)|<δ.
Insgesamt gilt also: Für jedes ε>0 gibt es ein δ>0, so dass für alle x′′ mit |x′′x|<δ gilt: |f(g(x′′))f(g(x))|<ε. (Dabei haben wir der Einfachheit halber nicht jedes mal eigens dazugeschrieben, dass alle auftretenden Funktionsargumente in den entsprechenden Definitionsbereichen liegen müssen).

Beachten Sie, dass aufgrund der zweimaligen Anwendung der Definition der Stetigkeit die Symbole ihre Rollen ändern: Was im ersten Teil des Arguments ε und δ sind, wird im zweiten Teil von δ und δ übernommen.
Damit ist beispielsweise (unter Ausnutzung der bereits gezeigten Stetigkeit der Betragsfunktion) ohne weitere Beweisführung klar dass die Funktion
x|x35|+x41x2
an allen Stellen x±1 (d.h. an allen Stellen, an denen der Nenner 0 ist) stetig ist.

 
       


Verkettung
 
     
Stetigkeit der Umkehrfunktion


Wichtig ist auch der Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion, den wir ohne Beweis wiedergeben:

Satz: Ist f an der Stelle x stetig, und existiert die Umkehrfunktion f1 in einem offenen oder halb-offenen Intervall, in dem x liegt, so ist sie an der Stelle f(x) stetig.

Mit all diesen Sätzen eröffnet sich nun ein weites Feld. Mit jeder weiteren Funktion, deren Stetigkeit erwiesen ist, ergibt sich eine ganze Klasse stetiger Funktionen:
  • So ist beispielsweise die Wurzelfunktion xx (als Umkehrfunktion des Quadrierens) an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs R+0=[0,) stetig. Analoges gilt für die n-ten Wurzeln xxn für alle positiven ganzen Zahlen n (als Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen xxn).
     
  • Daher sind alle Funktionen, die durch Kombination der Grundrechnungsarten mit dem Wurzelziehen gewonnen werden, an allen Stellen x stetig, die in einem offenen oder halb-offenen Intervall liegen, das ganz im Definitionsbereich enthalten ist. Beispiel: Die Funktion
    x5x23x2+2x1
    ist an allen Stellen x stetig, die x>1 und x2 erfüllen.
       





Umkehrfunktion
(inverse Funktion)
 
      Damit können wir sogar die Stetigkeit von Funktionen erschließen, die nicht "geschlossen" durch einen Term, der nur die uns bekannten (und benannten) Funktionen enthält, darstellbar sind, wie beispielsweise die "lokalen" Umkehrfunktionen von Polynomen in allen Intervallen, in denen sie existieren. Die Existenz dieser Umkehrfunktionen ist in der Nähe aller Stellen gewährleistet, an denen die Ableitung des Polynoms 0 ist. A propos Ableitung:

 
       
 
 
     
Differenzierbare Funktionen sind stetig


Schließlich erwähnen wir noch die im zweiten Differenzieren-Kapitel zu besprechende (und zu beweisende) Tatsache, dass die Differenzierbarkeit einer Funktion automatisch ihre Stetigkeit impliziert:

Satz: Ist f an der Stelle x differenzierbar, so ist f auch an dieser Stelle stetig.

In praktischer Hinsicht bedeutet das für Sie, dass Sie von einer Funktion, deren Ableitung Sie kennen, wissen, dass sie (an jeder Stelle, an der die Ableitung existiert) stetig ist!

 
       




Differenzierbarkeit
impliziert Stetigkeit
 
     
Liste stetiger Funktionen


Wir stellen nun ohne weitere Beweise eine Liste von Funktionen zusammen, die in allen Punkten ihres Definitionsbereichs stetig sind:
  • Polynome und rationale Funktionen,
  • Potenzfunktionen mit reellen Exponenten (xxα für αR),
  • die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens,
  • ihre Umkehrfunktionen, die Areafunktionen,
  • alle Exponentialfunktionen (xax für a>0),
  • deren Umkehrfunktionen, die Logarithmusfunktionen (zu einer beliebigen Basis a>0)
  • und die Betragsfunktion (x|x|).
Damit sind auch alle Funktionen, die durch die besprochenen Kombinationen aus diesen gewonnen werden können, an allen Stellen, die in einem offenen oder halb-offenen Intervall liegen, das ganz im Definitionsbereich enthalten ist, stetig. Das sind bei weitem die meisten, mit denen Sie im Rahmen Ihres Mathematikunterrichts zu tun haben!
       






Winkelfunktionen


Exponential- und
Logarithmus-
funktionen
 
     
Einige konkrete Beispiele für stetige und für (trotz ihrer Unstetigkeit nützliche) unstetige Funktionen wurden im zweiten Funktionenkapitel vorgestellt.

 
Graph und Definitionsbereich


Die Idee, dass eine Funktion stetig ist, wenn ihr Graph ohne abzusetzen gezeichnet werden kann, ist zwar – wie wir anlässlich der Funktion (4) bereits bemerkt haben – nicht auf alle Funktionen anwendbar, hilft aber in manchen Fällen doch weiter. Mitunter kann es dabei nötig sein, auch die Funktionswerte einzelner Punkte zu berücksichtigen (und am besten in eine Skizze des Graphen einzuzeichnen), um die Lage beurteilen zu können, denn ob eine Funktion stetig ist oder nicht, entscheidet manchmal nur die genaue Festlegung des Definitionsbereichs. Beispielsweise ist der (größt-mögliche) Definitionsbereich der Funktion

f(x)=x|x|={1fürx<01fürx>0
 
(9)

die Menge R{0}, d.h. die Menge aller von 0 verschiedenen reellen Zahlen. Obwohl ihr Graph

Graph der in (9) definierten Funktion f

den Eindruck einer unetstigen Funktion erweckt, ist sie an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig. Beachten Sie, dass sie an der Stelle 0 gar nicht definiert ist (was in der Skizze durch die nicht-ausgefüllten Kreise gekennzeichnet ist)! Hingegen ist die Funktion

g(x)=1fürx<00fürx=01fürx>0  
(10)

       

Beispiele 1

Beispiele 2
 
      auf ganz R definiert und an der Stelle 0 nicht stetig. (Beweis: Eine Nullfolge negativer Zahlen konvergiert gegen 1, eine Nullfolge positiver Zahlen konvergiert gegen 1. Keine von ihnen konvergiert gegen den Funktionswert 0). Um den Unterschied zu (9) herauszustreichen, zeigen wir auch der Graphen von g:

Graph der in (10) definierten Funktion g

Erkennen Sie den Unterschied? Die Stelle 0 ist eine Unstetigkeitsstelle (oder Sprungstelle) von g. Ihr Funktionswert (nämlich 0) ist durch den ausgefüllten Kreis dargestellt. Die Frage, ob die in (9) definierte Funktion f an dieser Stelle stetig ist, kann überhaupt nicht gestellt werden, da 0 nicht zu ihrem Definitionsbereich gehört! Da die Stelle 0 ein isolierter Punkt ist, an dem f nicht definiert ist, wird sie auch Definitionslücke genannt.

 
       

Nullfolgen
 
     
Zwei schwierigerere Fälle


Das Kriterium des "Zeichnens ohne absetzen" hat bei der in (4) definierten Funktion h nicht geholfen. Mittlerweile haben wir aber eine genaue Definition der Stetigkeit und können eindeutig entscheiden, ob h an der Stelle 0 stetig ist oder nicht: Mit

xn=12πn+π2
 
(11)

gilt xn0, aber

h(xn)=sin(1xn)=sin(2πn+π2)=sin(π2)=11h(0).
 
(12)

       
 
 
      Die Stetigkeit von h an der Stelle 0 würde nach dem Folgenkriterum h(xn)h(0)=0 verlangen, was aber nicht der Fall ist. Daher ist h an der Stelle 0 nicht stetig. Gar so schwierig ist dieser Fall also auch nicht! Versuchen Sie, sich klar zu machen, dass die Folge (11) eine ziemlich clevere Wahl für diesen "Unstetigkeitsbeweis" ist! Können Sie andere Folgen xn angeben, die sich genauso gut dafür eignen? Um zu sehen, wir die Idee dieses Beweises grafisch dargestellt werden kann, klicken Sie auf den nebenstehenden Button.

Im Unterschied zu (4) ist die Funktion
       

geometrisch
gedeutet
 
     

k:RRk(x)=0xsin(1x)fürx=0fürx0
 
(13)

überall stetig, also auch an der Stelle 0. Versuchen Sie, das zu beweisen! Plotten Sie ihren Graphen! Klicken Sie danach auf den nebenstehenden Button!

 
       

der Stetigkeit
 
 
     
Stetig hebbare Definitionslücken


Manchmal kommt es vor, dass eine Funktion durch einen Term gegeben ist, der an einer bestimmten Stelle nicht wohldefiniert ist (und daher zunächst aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen wird), dass diese Definitionslücke aber auf stetige weise geschlossen werden kann. Ein Beispiel ist

u(x)=x24x2.
 
(14)

Diese Funktion ist an der Stelle 2 nicht wohldefniert, da dort der Nenner x2 gleich 0 ist. Andererseits kann der Bruchterm aber wegen x24=(x2)(x+2) für x0 gekürzt werden, so dass er sich danach zu x+2 vereinfacht. Wird also die Definition u(2)=4 nachgeliefert, so entsteht eine stetige Funktion, die für alle reellen x durch u(x)=x+2 gegeben ist. Derart harmlose Definitionslücken werden "stetig hebbar" genannt.

Ein anderes Beispiel ist der Quotient sinxx, der an der Stelle 0 nicht definiert ist. Durch die Definition

w:RRw(x)=sinxxfürx01fürx=0
 
(15)

wird auch diese Lücke geschlossen. Der Graph der so definierten Funktion hat keinerlei Lücken und sieht so aus:

Graph der in (15) definierten Funktion w

Wir sind derartigen Situationen bereits im zweiten Funktionenkapitel begegnet und haben von "hebbaren Singulartäten" gesprochen. Auch die oben in (13) aufgetretene Funktion ist von diesem Typ. Die Definitionslücke in (9) kann allerdings nicht stetig behoben werden.

 
       

Singularitäten und Pole

 
 
     
Links- und rechtsstetig


Manche Funktionen sind zwar unstetig, verhalten sich aber "stetig", wenn die Annäherung an eine Stelle nur von kleineren (oder nur von größeren) Werten erfolgt. Wieder setzen wir voraus, dass x in einem offenen oder halb-offenen Intervall liegt, das ganz im Definitionsbereich einer Funktion f enthalten ist. Dann nennen wir f
  • an der Stelle x linksstetig (oder linksseitig stetig), wenn für jede Folge xn von Elementen des Definitionsbereichs, die xn<x und
    limnxn=x
    erfüllt, auch
    limnf(xn)=f(x)
    gilt, und
     
  • an der Stelle x rechtsstetig (oder rechtsseitig stetig), wenn für jede Folge xn von Elementen des Definitionsbereichs, die xn>x und
    limnxn=x
    erfüllt, auch
    limnf(xn)=f(x)
    gilt.
Diese beiden Begriffe werden unter der Bezeichnung halbstetig zusammengefasst. Hier zwei Beispiele:

Graph der auf ganz R definierten Funktion
f:x{xfürx12xfürx>1.
Sie ist an der Stelle 1 linksstetig.
Graph der auf [1,1] definierten
Funktion x1x2.
Sie ist an der Stelle 1 rechtsstetig
und an der Stelle 1 linksstetig.

Das zweite dieser Beispiele stellt eine in ganz [1,1] stetige Funktion dar. Die in (10) definierte Funktion g ist an der Stelle 0 weder links- noch rechtsstetig. Ist eine Funktion an einer Stelle, die in einem offenen Intervall liegt, das ganz im Definitionsbereich enthalten ist, links- und rechtsstetig, so ist sie an dieser Stelle stetig.

 
       
 
 
     
Eigenschaften stetiger Funktionen
       
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      Stetige Funktionen besitzen eine Reihe von Eigenschaften, die in vielen Anwendungen genutzt werden können. Ohne Beweise geben wir die wichtigsten von ihnen hier an.

 
Zwischenwertsatz


Seine genaue Formulierung lautet:

Zwischenwertsatz: Eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] definierte stetige Funktion f:[a,b]R nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an.

Intuitiv ist die Aussage des Satzes klar: Ist der Graph einer Funktion eine zusammenhängende Linie, so wird jeder Funktionswert zwischen den Funktionswerten der Randpunkte angenommen:


Für jeden Wert c zwischen f(a) und f(b) gibt es irgendwo im Intervall zumindest eine Stelle x, für die f(x)=c gilt.

 
       
 
 
     
Satz von Bolzano (Existenz einer Nullstelle)


Seine genaue Formulierung lautet:

Satz von Bolzano: Haben für eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] definierte stetige Funktion f:[a,b]R die Funktionswerte f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen, so besitzt f eine Nullstelle, d.h. es gibt ein x[a,b] mit f(x)=0.

Der Satz ist eine triviale Folge des Zwischenwertsatzes. Intuitiv ist seine Aussage klar: Ist der Graph einer Funktion eine zusammenhängende Linie, die an einem Rand des Intervalls unterhalb und am anderen Rand oberhalb der x-Achse liegt, so muss er die x-Achse irgendwo schneiden. Hier eine Skizze des Sachverhalts:


Die (in diesem Fall einzige) Nullstelle ist blau markiert.

 
       
 
 
     
Satz vom Minimum und Maximum


Seine genaue Formulierung lautet:

Satz vom Minimum und Maximum: Eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] definierte stetige Funktion f:[a,b]R besizt ein Minumum und ein Maximum, d.h. es gibt ein xmin[a,b] und ein xmax[a,b] so dass
f(xmin)f(x)f(xmax)
für alle x[a,b].

Dieser Satz ist weniger intuitiv als die beiden vorigen. Hier zunächst ein Beispiel:


Die Minimumstelle xmin ist mit dem linken Randpunkt a identisch, während die Maximumstelle xmax im Inneren des Intervalls liegt.

Um diesen Satz zu verstehen, muss man sich vor Augen halten, dass eine auf [a,b] definierte Funktion, die nicht stetig ist, keineswegs ein Minimum und ein Maximum besitzen muss. EIn Beispiel ist die Funktion

f:[0,1]Rf(x)=0fürx=01xfür0<x1.
 
(16)

Ihr Graph sieht so aus:


Sie besitzt ein Minimum (die Minimumstelle ist xmin=0, der zugehörige Funktionswert ist f(xmin)=0), aber kein Maximum!

Aus dem Satz vom Minimum und Maximum folgt, dass jede auf einem abgeschlossenen Intervall definierte stetige Funktion beschränkt ist.

 
       
 
 
     
Weiterführende Themen


Zum Abschluss dieses Kapitels wollen wir noch auf einige Themen hinweisen, die über die Reichweite von mathe online hinausgehen:
  • Der Begriff der Stetigkeit kann auf Funktionen übertragen werden, die auf der Menge C der komplexen Zahlen (oder einer Teilmenge dieser Menge) definiert sind und in R oder C abbilden. Die meisten Sätze dieses Kapitels gelten dann in einer entsprechend angepassten Form ebenfalls.
     
  • Stetigkeit ist aber in der modernen Methematik ein weitaus allgemeineres Konzept, das im Gebiet der Topologie behandelt wird. Es lässt sich adaptieren für Funktionen zwischen Mengen, in denen es nicht einmal einen Abstandsbegriff gibt. Wird die dort verwendete Definition der Stetiigkeit auf reelle Funktionen übertragen, deren Definitionsbereich A eine offene Menge ist (d.h. eine Menge mit der Eigenschaft, dass jedes ihrer Elemente in einem offenen Intervall liegt, das ganz in ihr enthalten ist) so liest sie sich so:

    Eine reelle Funktion f wird stetig genannt, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist.

    Dabei ist das Urbild einer Menge M, geschrieben als f1(M), gleich der Menge aller xA, für die f(x) in M liegt.
     
  • Die moderne Mathematik studiert auch die Menge aller stetigen Funktionen f:AB, wobei A und B Mengen sind, in denen die Begriffe "offen" und "geschlossen" Sinn machen (so genannte topologische Räume). Die Struktur derartiger Funktionenräume gibt dann unter anderem Aufschluss über gewisse Eigenschaften der beteiligten Mengen.
Nicht nur innerhalb der Mathematik, sondern auch in zahlreichen Anwendungen (von der Modellierung von Börsenkursen bis zur Brownschen Molekularbewegung) ist ein exakter Begriff der Stetigkeit von entscheidender Bedeutung.

 
       






komplexe Zahlen
 


 
 
 
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